AI4Research · Invited Talk 06 · Mehtaab Sawhney

来源： Invited Talk 06 · Mehtaab Sawhney 播客： ICML 2026 · AI4Research 分类： AI 研究 原文发表： 2026-07-10 纪要生成： 2026-07-13

基本信息

• Workshop：AI as a Tool for Mathematics, Computer Science, and Machine Learning (AI4Research @ ICML 2026)
• 类型：Invited Talk
• 题目：Recent Progress on AI for Math（AI 用于数学的近期进展）
• 讲者：Mehtaab Sawhney（哥伦比亚大学数学教授、Clay Research Fellow；与 OpenAI 关联）
• 真实时段：约 14:25–15:00（KST，7/10）

一句话概括

一位组合/数论方向的数学家，用过去九个月内的一连串真实定理为例，从"数学家的视角"记录 AI 首次为数学研究贡献关键思想的时刻：从"帮你在文献里找到已解之题"，到"给出解决 minor 开放问题的一个关键点子"，再到独立攻克 40–80 年悬而未决的重大猜想（Ramsey 数的 l^(k−1) 上下界、单位距离猜想 n^(1+δ)、Talagrand 猜想、和积猜想的反例、在线向量平衡的最优界）——其中多例由 OpenAI 内部模型或 GPT-5.x 完成，甚至给出百万行级的 Lean 证明。核心感受：这是"AI 真正在数学研究中贡献极有价值思想"的萌芽期。

背景与动机

Sawhney 自陈是（现仍是）哥伦比亚数学教授，本报告不打算讲证明细节，而是像数学家一样过一遍例子、捕捉"此刻"：我们正处于 AI 真正为数学研究贡献极有价值思想的萌芽期，非常令人兴奋。他每晚打开 arXiv、扫几个分类开始读——最近三四个月几乎每晚都能找到一篇很喜欢的论文，然后在某处看到一条 AI 致谢：某个关键想法由前沿 AI 模型提出。这是一个全新且强大的现象。所有例子都来自过去九个月，用以呈现当前进展速度。他重点讲组合、概率与理论计算机科学（TCS）——他最懂的领域。

开场五个定理（一张幻灯片）：

• Erdős 问题 #1196：Erdős 的一个猜想，被单次 GPT 调用解决（当时约 GPT-5.4，也可能 5.5）。可看 Jared Duker Lickman 的推文串——他的博士论文正是一个高度相关的问题、想了好几年没解出，而 GPT 提出了一个新颖思路把它解决。
• 逼近 permanent 的结果（关键归功于 GPT-5.5 Pro）：用某个多项式时间近似量逼近 permanent，给出一个sharp（紧）答案——这是讲者在理论会议上多次听闻的问题。
• 关于电流（electrical currents）的一个结果（TCS 常见主题）。
• Hua Song 的定理（关于随机变量的简洁陈述）：任意 sub-Gaussian 向量 X 可写成三个高斯之和 G1+G2+G3（各为标准正态、以某种方式耦合），并可据此恢复 X 的分布——这解决了 Talagrand 的一个著名猜想。此前 Antoine Song 已把它约化为某个具体猜想，随后两组独立解决了该猜想，其中一份证明基本完全由 AI 给出——这是一份"能发表在世界上几乎任何数学期刊"的结果。

主要内容（按能力递进的例子）

阶段一：AI 帮你"在文献里找到答案"

出自论文《early science acceleration experiments with GPT-5》（约在 GPT-5.5 发布前后放出）：一系列覆盖数学、物理、天文、CS、生物、材料科学的例子，GPT-5 分别扮演文献检索、提出新思路、新思路+具体研究步骤、乃至完全自主求解等角色；其中含两个 minor 开放研究问题。

• "没有 AI"的对照故事（Erdős 的一个问题）：设 A、B ⊆ {1,…,n}，要求所有乘积 a·b（a∈A, b∈B）互不相同，问 |A|·|B| 能多大——组合数论里很自然的问题。Sawhney 读研时（两三年前）看到觉得极自然、想做，但花了好几个小时才查到它 50 年前已被 Andrea Sárközy（转写作 "Semerati"）在题为《On a problem of P. Erdős》的论文中解决——这种标题"基本无法检索"。如今直接把陈述丢进 GPT-5 Pro 就能得到答案。Erdős 问题网站现有 1000 多个问题。
• 系统性检索：2025 年底他和 Mark Sellke 用 GPT-5 Pro 系统扫这个索引，找到 10 个"模型能在文献中定位到解答"的问题。该网站由数学家 Thomas Bloom 创建、做过认真但非深入的文献检索。关键在于模型真正理解了研究文献：很多时候文献里的陈述假设略有不同、或以某种非平凡的等价方式存在，需要做一点数学才能证明"你要的问题等价于文献里的某定理"，有些推导相当不平凡。
• "一个关键点子"型（另一个 Erdős 问题）：设 A ⊆ {1,…,n}，要求任取两数 a、b，a·b+1 永不是 square-free（即总被某素数平方整除）。最佳猜想构造是取全部 ≡7 (mod 25) 的数（7²=49，49+1=50 被 25 整除）。这是 90 年代提出的 minor 开放问题，网站上有数学家评论串。Sawhney 丢进 GPT，它给了一个点子并声称完整证明——证明相当错误，但要点是对的；结合评论里的想法+GPT 的点子+他自己收尾，就得到一个"关键步骤由 GPT-5 提出"的解。
• COLT 上的偏好依附（preferential attachment）问题：某随机过程，问某量是否可辨识（identifiable）。GPT-5 有一个关键点子，识别出关键参数，指出"若该参数收敛"（并给出收敛到什么），就能辨识出所关心的底层统计量；选定统计量后剩下是标准工作。
• 阶段小结："signs of life"：拿到第一个关键点子、或一个点子+较长证明，去解 minor 但有趣的开放问题；有时一个点子就够。

阶段二：超越"单点观察"——Ramsey 数

• 定义：R(k,l) = 最小的 n，使任意 n 顶点图必含 k 点团（clique）或 l 点独立集。此前界很差、约 40 年未改进：下界 l^(k/2)，上界 l^(k−1)；指数 k/2 与 k−1 固定了 40 年，只有对数因子级的、靠极难极技术性论证的小改进。上下界差着近乎一个"平方因子"。
• 一个自然猜想（Erdős）：固定 k、令 l 增长，比值 R(k,l+1)/R(k,l) → 1。
• 一个 OpenAI 内部模型解决了它。领域权威 David Conlon 给 Sawhney 的邮件很好地概括了他的感受：他一向认为这类问题"无效（invalid）"——似乎不了解更多渐近信息就无法回答。而模型指出：若不成立，则实现 Ramsey 数的图会有非常怪异、我们并不认为 Ramsey 数会有的性质；组合里有个工具叫 dependent random choice，可据此攻击。难点是双重的：陈述干净、许多专家觉得完全遥不可及——模型先要意识到"并非无望"，再有过硬的技术执行力去完成（dependent random choice 论证，需要极小心的计算，连专家都要花时间才确信可行）。
• 两周后的突破（非 AI 辅助）：EPFL 一位博士后（转写作 "Domokai"，姓名不确定）证明 R(k,l) > l^(k−2−o(1))。以 k=100 为例：下界从 l^50、上界 l^99——他把下界从 50 推到 98。证明仅约 3 页，融合了来自（交换/代数）几何的构造与近十年发展起来的container 论证等若干巧思。
• 紧接着（借这篇论文）一个 OpenAI 内部模型彻底解决：把 98 推到 99，即下界 l^(k−1)、上界也 l^(k−1)——对固定 l 基本上把 Ramsey 数问题解决到对数因子。这是组合里自 Ramsey 数定义以来的重大问题。证明是取 product 的论证 + 一个巧妙的 twist（几行看出 twist 有希望），随后沿 product 的思路执行；原作者及其他若干作者都试过。之后一个简单的 Ramsey 论证即可由此定理反推出前一个（比值→1）定理——"Conlon 说因为不了解渐近而认为无效，现在我们了解了。"

阶段三（前沿标杆）：单位距离猜想

被讲者视为"对 AI 数学能力评估的一次阶跃"、"非常美"。

• 陈述：平面上 n 个点，问最多有多少对点距离恰为 1。2026 年前：下界 n^(1+Ω(1/log n))，上界 n^(4/3)（来自 Spencer–Szemerédi–Trotter，1984）。Erdős（1940 年代）猜测下界正确（n^(1+o(1))），即不能比平凡下界多出一个幂。平凡下界 n：把 n 个点排在一条线上、间距 1，得到 n 对。
• 给出下界的构造：把 √n×√n 方格按比例缩放，数"距离 √r 的点对";若 r 是许多不同的 ≡1 (mod 4) 素数之积，则 r 能以许多方式写成两平方和 a²+b²（等价于在复数域上把 r 分解为 (a+bi)(a−bi)；最简例 5=1²+2²）。这在 Erdős 原论文里，此后基本无进展。
• 一个 OpenAI 内部模型证明：存在绝对常数 δ，使单位距离数 ≥ n^(1+δ)（此前的增益 1/log n 在 n→∞ 时趋于 0，δ 是绝对常数）——推翻了这个 80 年的猜想，许多严肃数学家都想过。有两份证明：一份由模型给出、一份由若干资深受尊敬的数学家写成优雅版本。更进一步，GPT-5.6（在 Boris Alexeev 恰当引导下）给出了从公理出发的完整 Lean 证明，其 Lean 证书约一百万行长。此后一位最先审阅的数学家引入若干巧思把 δ 做成显式的 n^1.014；如今经多人推进 δ 已约 0.03。
• 证明梗概：把高斯整数 Z[i] 换成某个数域 L、看 L[i] 及其一个巧妙子集。这个初始想法很多人想到过；真正难点是弄清数域的哪些性质要紧——需要极长、极小心的计算。资深数学家 Jacob Zimmerman 当时正想着完全相同的思路：要让构造成立，需要 L 高次（high degree），而高次数域不是易事。Zimmerman 的回应很诗意："这是一个常常不奏效、很吓人的动态"——模型之所以成功，是它能在这个（违反数学家直觉的）区域里坚持下去（与 Ramsey 例子极像）。精确地说：需要次数按 d 增长、判别式仅按 d 指数增长的数域；组合学家其实不认得这类数域，其存在依赖 class field towers（类域塔）（代数数论主题，60/70 年代被证明，当年很出人意料）。
• 正面外溢（不只是"杀死一个方向"）：
• 和积猜想（sum-product）：n 个实数，看 A+A（和集）与 A·A（积集）；Erdős–Szemerédi 猜想其中之一大到几乎极限（至多 |A|² 大，猜想说能达到极限）。Bloom、Schildkraut、Zelakov 证明该猜想为假：存在常数 c 与任意大的 A，使两量之最大值 ≤ |A|^(2−c)。用的正是单位距离里那种小判别式、高次数的数域（取结构化集合、几何集×等差数列，再放进数域 L 里相乘），计算与前一例密切相关。"我很难传达自己看到这个时有多惊讶"——社群几乎一致相信它成立。
• 更强的后续：Roche-Newton、Schildkraut、Warren（把 A·A+A+A 加起来）；Leng（从 2 次对象推到 3 次及更高）；Pohoata（推翻若干猜想）。影响：社群对这些猜想本有共识，模型既能小心执行一个 tricky 想法、又掌握专家不太熟悉的一块数学（数域），组合起来产出堪称突破的结果；现在"这些猜想在整数上（而非实数上）是否成立"成为更受关注的中心问题。

收束例子：在线向量平衡（discrepancy theory）

一两周前 arXiv 上的、他博士期间认真想过却毫无进展的问题。

• 陈述：向量 v_1,…,v_T，每个范数 ≤1，对手事先固定且不给你看。对手交给你 v_1，你赋 ε_1∈{+1,−1}，得部分和 ε_1 v_1；再交 v_2……你不断赋号建部分和，目标是让部分和的 L∞ 范数在所有时刻都尽量小。猜想是可做到 √(log T)（若向量 sub-Gaussian 的自然界）。这是 discrepancy 理论的中心问题之一。
• Sawhney 2022 年（与 Liu 合作）没能证到猜想，但把 ε_i 取在 {−1, 2}（而非 ±1）时能拿到想要的界。"为了去掉那个 2，我睡着过多少次数不清了。"证明大意：从 d 维随机高斯向量出发，用 ε∈{−1,1,2} 赋号保持分布性质——G_0 + 随机号 = G_1（和仍是高斯）。
• 两三天/一周前：可用 ε∈{±1} 达到最优。把 G_0 移到另一侧：Σ ε_i v_i = −G_0 + G_1，即两个高斯之和的组合；±1 号时不可能是两高斯之和，但"2 不特殊——那 3 呢？"——一次保持三个高斯。Leng 在与 GPT-5.5 Pro 的一段很长对话中（论文里附了对话链接）得到，关键想法据其 AI 致谢归功于模型；知道这一事实后，专家收尾相对直接。
• 讲者感慨："数学里最高形式的顿悟，是被告知你误解了自己的工作"——他误解了自己这项工作好几年，模型指出了正确的看法（保持三个而非两个高斯）。

关键结论 / Takeaways

• 能力已跨过三档：从"帮你在文献里定位已解之题"（需非平凡等价推导），到"给出解决 minor 开放问题的关键点子"，再到独立攻克 40–80 年的重大猜想（Ramsey 数 l^(k−1)、单位距离 n^(1+δ)、Talagrand、和积反例、在线向量平衡最优界）——都发生在过去九个月。
• 模型能在"违反数学家直觉"的区域坚持：Ramsey 与单位距离两例的共性——先意识到"并非无望"，再用过硬技术执行；并能调用专家不熟悉的一块数学（dependent random choice、高次小判别式数域/类域塔）跨领域组合出突破。
• 可验证性在增强：单位距离猜想已有 GPT-5.6 从公理出发的百万行级 Lean 证明。
• 多为通用模型、无数学专训：单位距离由完全通用的内部模型完成，暗示近期进展主要来自模型整体能力达到某阈值并普遍变强，而非数学专用训练。
• 反例带来新方向：这些工作不只"杀死方向"，还教会我们关于其他数学领域的事实（如"这些猜想在整数上是否成立"成为新的中心问题）。

Q&A / 讨论亮点

• Q1（失败案例的比例）： 这些都是漂亮的成功故事、也很受关注；但失败的故事似乎缺席——尝试过的猜想里，LLM"啥有意义的都没产出"的比例，相对我们都知道的成功故事是多少？ A1： 不便超出公开已知去评论。要意识到：数学家本就不会写下没成功的想法。可行的办法是看进展速率、看多少人在报告 LLM 的成功，作为"事情在如何改善"的背景率。而且很难界定什么算"失败"——若模型给了一个不奏效的想法，那算什么？有时只是问题还没到能被现有技术解决的时候。他很难为"模型失败"给出恰当定义。追问（"无论聊多久都没用即算失败"）——"实在没有更有启发的话可说"。

• Q2（为何近月数学/理论进展这么多——是模型更好，还是人更会用？）： A2： 关键一点：像单位距离猜想用的是完全通用、无数学专训的模型——这说明近期进展很大程度来自模型达到某能力水平并整体变强，而非更专门的东西；当然也有共生效应：能力增强让人更想用它。

• Q3（是否某些数学领域出成果更多，或存在阅读 arXiv 的选择偏差？）： A3： 他讲的确实是他个人想过的问题（组合、概率、TCS 是他最懂的）；但代数、几何乃至数学各处都有 AI 帮忙的例子。很有意思的一点是：单位距离的关键点子来自另一个数学领域——对模型而言，数学与计算机科学是一个整体，读新数学时这点很令人愉悦。

• Q4（需要视觉直觉的领域，如几何，模型是否进展更少？）： A4： 他所有结果都在数论（对他自己而言很难可视化）。单位距离的硬技术部分有两块：一块是关于凸体（convex bodies）的几何论证，要极好的几何直觉才能看出策略可行；另一块是 sub-Gaussian 向量之和——模型有不错的高维直觉。几何/拓扑目前例子可能较少，"但它们会来的"。

名词 / 引用

• Erdős 问题网站（Thomas Bloom 建）/ Erdős 问题 #1196：AI 系统性检索到 10 个已解问题、并单次调用解决 #1196。
• Talagrand 猜想 / Antoine Song / Hua Song：sub-Gaussian 向量=三高斯之和，一份证明基本完全由 AI 给出。
• Ramsey 数 R(k,l) / dependent random choice / container 论证 / David Conlon / Mark Sellke：从"比值→1"猜想到 l^(k−1) 上下界，AI 与人类突破交替推进；EPFL 博士后（"Domokai"，姓名不确定）把下界推到 l^(k−2)。
• 单位距离猜想 / Spencer–Szemerédi–Trotter（1984）/ class field towers / Jacob Zimmerman / Boris Alexeev：n^(1+δ) 推翻 80 年猜想；GPT-5.6 给百万行 Lean 证明；δ 由 0.01 级推进到约 0.03。
• 和积猜想（Erdős–Szemerédi）/ Bloom、Schildkraut、Zelakov / Roche-Newton、Warren / Leng / Pohoata：单位距离数域方法外溢，推翻一系列猜想。
• 在线向量平衡 / discrepancy theory / Liu / Leng / GPT-5.5 Pro：√(log T) 最优界；关键"保持三个高斯"想法归功于模型。
• GPT-5.4 / 5.5 / 5.5 Pro / 5.6、OpenAI 内部模型、Jared Duker Lickman：报告中所述完成各结果的模型与相关研究者（模型版本号按讲者原话记录）。

原文发表：2026-07-10  ·  纪要生成：2026-07-13